- LOS NUMEROS PRIMOS
El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad.
Los números primos menores que cien son
El teorema fundamental de la Aritmética establece que cualquier número natural mayor que 1 siempre puede representarse como un producto de números primos, y esta representación (factorización) es única módulo el orden de los factores.
Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 adC. Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con métodos diversos, contándose entre ellos Algebra Conmutativa y Topología.
A pesar de que sabemos que hay infinitos números primos, aún quedan preguntas en el aire sobre procedimientos exactos para saber con certeza si un número determinado es primo o no en tiempo computacionalmente bajo.
Un procedimiento empleado para hallar todos los números primos menores que un entero dado es el de la criba de Eratóstenes. Además, se sabe que no hay límite para la distancia entre dos primos consecutivos; para ver esto basta notar que para n entero positivo en el conjunto no hay números primos, pues sus elementos son divisibles por respectivamente.
Si nos preguntamos por la cantidad de primos bajo una cierta cantidad dada se conocen resultados satisfactorios. Denotando por π(x) la cantidad de primos hasta x se tiene que donde, como es usual en Teoría de Números, log denota el logaritmo natural. Este es el Teorema del Número Primo en su versión más sencilla, pero su demostración no es trivial.
Hasta hoy se mantienen abiertos numerosos problemas relativos a la distribución y frecuencia de aparición de los primos y de algunas familias particulares de estos. Por ejemplo, se conjetura que existen infinitos números primos de la forma p1=p2 + 2 (siendo p1 y p2 primos) o primos gemelos.
- INTERNET
Es un método de interconexión descentralizada de redes de computadoras implementado en un conjunto de protocolos denominado TCP/IP y garantiza que redes físicas heterogéneas funcionen como una red lógica única, de alcance mundial. Sus orígenes se remontan a 1969, cuando se estableció la primera conexión de computadoras, conocida como ARPANET, entre tres universidades en California y una en Utah, EE. UU.
Al contrario de lo que se piensa comúnmente, Internet no es sinónimo de World Wide Web (WWW, o "
Algunos de los servicios disponibles en Internet, aparte de
-MATEMATICAS PARA UN NUEVO SIGLO
En 1900, en París, David Hilbert, uno de los grandes matemáticos de la época, propuso una lista de 23 problemas que para dicho autor debían ser algunas de las más importantes cuestiones de estudio durante el siglo XX. La incidencia y el desarrollo de las matemáticas que va a provocar un problema que se plantea son de difícil previsión, pero podemos afirmar que la lista de Hilbert ha sido uno de los motores de avance de las matemáticas durante el siglo XX y lo que llevamos de nuevo siglo. Y no sólo por los problemas en sí, sino también por las técnicas y descubrimientos que en la búsqueda de soluciones de dichos problemas se han generado.
Para comprender la naturaleza de los problemas de la lista de Hilbert, enunciaremos algunos de ellos. Hay problemas de lógica, de álgebra, de teoría de números, de análisis complejo, de geometría, de topología, de ecuaciones diferenciales, esto es, de todas las ramas de la matemática. Vamos a enunciar tres de ellos, sean una muestra del contenido de la lista. Nos permitirán, además, hacer algunas consideraciones sobre la misma.
El problema 1 se pregunta por la estructura del continuo. Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si y solamente si se puede establecer una biyección entre ellos. Así, el número dos no es otra cosa que esa propiedad que comparten un conjunto de dos vacas, dos personas o dos ovejas. La sorprendente revelación, debida a Cantor, es que todos los cardinales no finitos no son iguales. Esto es, existen conjuntos infinitos entre los que no se puede establecer una biyección, mostrando esto que hay números no finitos más grandes que otros números no finitos. Por ejemplo, se puede establecer una biyección entre el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números pares estrictamente positivos (f(n)=2n). Esto muestra que el conjunto de los números naturales tiene el mismo cardinal que el de los pares positivos. Sin embargo, no hay posibilidad de establecer una biyección entre el conjunto de los números reales y el de los números naturales. Se muestra entonces que el cardinal de los números reales es mayor que el de los naturales. La ausencia de dicha biyección se puede argumentar mediante un razonamiento por reducción al absurdo y el método conocido como método diagonal. Vamos a suponer que existe una biyección entre los números naturales y los números del intervalo [0,1) de los números reales.
Si esto no es posible, entonces la cantidad de elementos de dicho intervalo es mayor que la de los números naturales. Se puede demostrar que existe una biyección entre el conjunto [0,1) y el conjunto de los números reales, lo que concluiría la demostración. Sea f esa posible biyección entre el conjunto de los números naturales y el conjunto [0,1). Entonces, representando decimalmente cada número del intervalo en cuestión, podemos decir, f(n)=0.an1an2an3... El método diagonal observa que se pueden elegir números naturales bii tales que bii es distinto de aii y de 9 (para que no se produzca un período de nueves). De este modo 0.b11b22b33... es un número del intervalo que no está en la imagen de f, por lo que f no puede ser sobreyectiva. La pregunta que plantea Hilbert es si existe algún conjunto C cuyo cardinal sea estrictamente mayor que el de los naturales (lo que se suele expresar como ser no numerable) y estrictamente menor que el de los números reales (cardinal del continuo). Este problema está resuelto, aunque de una
manera bastante poco clásica. Se ha demostrado que, en la axiomática habitual de la teoría de conjuntos, es perfectamente coherente que exista C o que no exista. Esto es, el axioma del continuo es independiente del resto de axiomas de la teoría de conjuntos.
- HILBERT
David Hilbert, 23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental – 14 de febrero de 1943, Göttingen, Alemania) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional.
Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.
Algunos historiadores siempre han creído que David Hilbert descubrió las ecuaciones correctas para la relatividad general antes que Einstein. Sin embargo esto nunca ha sido probado.
- FERMAT
Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601 - Castres, Francia, 12 de enero de 1665), fue un jurista y destacado matemático. Fue abogado en el Parlamento de Toulouse, en el sur de Francia, y matemático clave para el desarrollo del cálculo moderno. También hizo notables contribuciones a la geometría analítica
Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de Pitágoras, también conocido como Último Teorema de Fermat, que torturó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995. Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los líderes matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. A través de su correspondencia con Blaise Pascal, fue co-fundador de la teoría de probabilidades.
Fermat nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, una ciudad situada a 58 kilómetros al noroeste de Toulouse, Francia. La mansión del siglo XV donde nació es en la actualidad un museo. La escuela más antigua y prestigiosa de Toulouse se llama Pierre de Fermat y en ella se imparten clases de ingeniería y comercio. Está situada entre las diez mejores de Francia para clases preparatorias.
Fermat era un matemático que trabajaba la mayor parte del tiempo en soledad. Su único contacto con el resto de la comunidad matemática fue gracias a Marín Mersenne. Cabe destacar también un breve intercambio de cartas con Blaise Pascal. Los resultados de Fermat fueros conocidos por otros pensadores europeos gracias a Mersenne, que los reenvió e hizo una amplia distribución.
- TEORIA DE NUMEROS
Gauss consideraba a las matemáticas como la reina de las ciencias y a la teoría de números como la reina de las matemáticas. Este calificativo dado por Gauss a la teoría de números, tiene plena justificación, si se tiene en cuenta que, la historia de las matemáticas la tiene como su columna vertebral y porque grandes matemáticos, desde la antigüedad hasta nuestros días, la han cultivado y mantenido como una de las áreas más fecundas del terreno matemático. Los problemas de la teoría de números tienen diferente grado de dificultad. Algunos son fáciles de plantear y fáciles también de resolver, como es el caso de establecer la infinidad de los números primos. Fue Euclides, quien, en forma por demás elegante, mostró que el conjunto de números primos es infinito.
Hay problemas de fácil formulación aunque de muy difícil prueba. Ejemplos típicos de éstos, son
Los números enteros, materia prima de la teoría de números, tienen en conjunto, propiedades sumamente interesantes como veremos en el transcurso de la presente exposición. Empecemos por decir que cada entero en sí es interesante, pues si hubiese un conjunto de enteros positivos no interesantes, el menor de ellos ya sería de interés, contradiciendo su propia definición.
Godfrey Harold Hardy (1877-1947), el famoso matemático inglés, cuenta que en cierta ocasión comentó a Ramanujan, haber viajado en el taxi No. 1729, número éste, que en su opinión no tenía nada de interesante. El genio hindú le respondió: “Al contrario, 1729 es un numero muy especial, ya que es el primer entero positivo que puede expresarse como la suma de dos cubos, exactamente en dos formas diferentes”. En efecto, 1729 = 103+93 = 123+13. El número 123 = 1728, estudiado por Ramanujan, desempeña un papel importante en la teoría de formas modulares elípticas, área en la cual contribuyó profusamente.
- CARL FRIEDRICH GAUSS
Carl Friedrich Gauss
Retrato de Carl Friedrich Gauss, por Christian Albrecht Jensen
Nacimiento 30 de abril de 1777
Brunswick, Alemania
Muerte 23 de febrero de 1855
Göttingen, Hanover (Alemania)
Residencia Alemania
Nacionalidad(es) Alemana
Campo(s) Matemático y físico
Instituciones Universidad de Göttingen
Supervisor doctoral Johann Friedrich Pfaff
Estudiantes destacados Friedrich Bessel
Christoph Gudermann
Christian Ludwig Gerling
J. W. Richard Dedekind
Johann Encke
Johann Listing
Bernhard Riemann
Johann Carl Friedrich Gauss (Gauß) (30 de abril de 1777 – 23 de febrero de 1855, s. XIX), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.
Gauss fue un niño prodigio de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad siendo apenas un infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente. Completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teoría de los números se consolidara y ha moldeado esta área hasta los días presentes.
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