- RESEÑA HISTÓRICA DE ALGUNOS PROBLEMAS EN TEORÍA DE NÚMEROS

- RESEÑA HISTÓRICA DE ALGUNOS PROBLEMAS EN TEORÍA DE NÚMEROS

Facisímil de la portada de la “ARITMETICA” de Diofanto de Alejandría, originalmente editada por Bachet en 1650. En la versión que se muestra se incluyen las notas marginales hechas por el famoso matemático francés Pierre de Fermat, entre las que figura el hoy llamado “Último Teorema De Fermat”

Introducción

El propósito de este trabajo, es describir, en forma sucinta, la historia de algunos problemas centrales de la Teoría de Números. Muchos de ellos han ocupado la atención de matemáticos, y aficionados a las matemáticas por varias generaciones, y en determinados casos hasta por siglos. Entre estos problemas se destacan: la Conjetura de Golbach, el Último Teorema de Fermat, el Teorema de los Números Primos, el Problema de Catalán y el Décimo Problema de Hilbert.

Gauss consideraba a las matemáticas como la reina de las ciencias y a la teoría de números como la reina de las matemáticas. Este calificativo dado por Gauss a la teoría de números, tiene plena justificación, si se tiene en cuenta que, la historia de las matemáticas la tiene como su columna vertebral y porque grandes matemáticos, desde la antigüedad hasta nuestros días, la han cultivado y mantenido como una de las áreas más fecundas del terreno matemático. Los problemas de la teoría de números tienen diferente grado de dificultad. Algunos son fáciles de plantear y fáciles también de resolver, como es el caso de establecer la infinidad de los números primos. Fue Euclides, quien, en forma por demás elegante, mostró que el conjunto de números primos es infinito.

Hay problemas de fácil formulación aunque de muy difícil prueba. Ejemplos típicos de éstos, son la Conjetura de Golbach y el Último Teorema de Fermat. Hay un tercer grupo de problemas que se caracteriza por su difícil formulación e igualmente difícil prueba. A manera de ejemplo citamos aquí la siguiente proposición: Dos formas cuadráticas son congruentes en el campo racional si y sólo si son congruentes en los reales y en todos los cuerpos p-ádicos.

Los números enteros, materia prima de la teoría de números, tienen en conjunto, propiedades sumamente interesantes como veremos en el transcurso de la presente exposición. Empecemos por decir que cada entero en sí es interesante, pues si hubiese un conjunto de enteros positivos no interesantes, el menor de ellos ya sería de interés, contradiciendo su propia definición.

Godfrey Harold Hardy (1877-1947), el famoso matemático inglés, cuenta que en cierta ocasión comentó a Ramanujan, haber viajado en el taxi No. 1729, número éste, que en su opinión no tenía nada de interesante. El genio hindú le respondió: “Al contrario, 1729 es un numero muy especial, ya que es el primer entero positivo que puede expresarse como la suma de dos cubos, exactamente en dos formas diferentes”. En efecto, 1729 = 10³+9³ = 12³+1³. El número 12³ = 1728, estudiado por Ramanujan, desempeña un papel importante en la teoría de formas modulares elípticas, área en la cual contribuyó profusamente.

S. Ramanujan (1887-1920) G. H. Hardy (1877-1947)

Los enteros positivos tuvieron singular importancia en la filosofía de la escuela pitagórica (siglos VI-III A.C.). Para Pitágoras todo era números y el número era la única vía de llegar a la esencia de las cosas. Los enteros positivos fueron clasificados como femeninos (pares) y masculinos (impares). A los primeros números se les asociaron atributos humanos. Por ejemplo, el 2 significaba opinión, el 4 justicia (por ser el primer cuadrado perfecto), el 5 matrimonio (suma de par e impar). El uno no era considerado estrictamente como un número, si no como el “divino generador de todos los números”. De otra parte, para los pitagóricos, el uno era el punto, la recta el dos, una superficie el número tres y el cuatro estaba ligado a los sólidos. De la suma de estos, aparecía el número diez, el tetractys, considerado por ellos como potencia sagrada y omnipotente. El diez estaba clasificado entre los números triangulares. Estos números, como todos los números conocidos como poligonales, se obtenían a partir de arreglos geométricos del tipo que muestra la figura.

LAS TRIPLAS PITAGÓRICAS Y EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT.

Hay suficiente evidencia como para creer que los babilonios del II milenio antes de Cristo, conocían un procedimiento para obtener soluciones enteras de la ecuación

x² +y² =z² (*)

En efecto, en los años 40, fueron interpretadas por O. Neugebauer y A. J. Sachs, varias tablillas babilónicas de contenido matemático entre ellas, la Nº 322 de la colección Plimpton, en la cual aparecen muchas triplas pitagóricas (a, b, c) que satisfacen (*). La tripla (3, 4, 5) es una de ellas. Esta tripla pudo haberse encontrado por ensayo y error, pero no podría decirse lo mismo de la tripla,

(4961, 6480, 8161)

Que también aparece en la tablilla 322. Esto muestra que la cultura babilónica poseía probablemente la fórmula parra encontrar valores que satisficieran la ecuación diofantina (*). En el libro XII de los “Elementos” de Euclides se describe el método para hallar todas las triplas pitagóricas primitivas que resuelven la ecuación mencionada. En notación moderna la solución puede expresarse así:

(**) x = 2uv, y =u²-v², z = u²+v²v

Donde u y v son enteros positivos de diferente paridad (uno par, el otro impar), u > v y u, v primos entre sí. Que (x, y, z), dados en (**) satisfacen (*), se obtiene directamente de la identidad algebraica:

(u² + v²)= (u²- v)² + (2uv), donde x= (2uv)², y = (u²- v)², z = (u² + v² ) ².

La proposición más nombrada y quizás con el mayor número de demostraciones erróneas en la historia de las matemáticas, es el llamado Último Teorema de Fermat. PIERRE DE FERMAT (1601-1665), aunque jurista, logró su fama como matemático de gran creatividad. Al margen de su copia del libro “Aritmética”, escrito por Diofanto y editado por Bachet en 1650 (véase facsímil de la portada al comienzo del artículo), Fermat escribió:

“Descomponer un cubo en dos cubos, una cuarta potencia o en general una potencia en dos potencias de la misma denominación, por encima de dos, es imposible. Yo he encontrado una maravillosa prueba de este hecho, pero el margen es demasiado estrecho para contenerla”.

Han pasado tres siglos desde entonces y la demostración para el teorema sólo vino a encontrarse finalizando el siglo XX, con los trabajos de Andrew Wiles de la Universidad de Princeton. Es poco probable que Fermat conociera una demostración, más si se tiene en cuenta que, usando el método del descenso infinito, él demostró el teorema para el caso de cuartas potencias. La lucha por demostrar el Último Teorema de Fermat ha contribuido a crear todo un cuerpo de nuevas teorías, como es el caso de la teoría de cuerpo ciclotómicos y la teoría de ideales, iniciada en los trabajos de Ernest Kummer (1810-1893). Kummer probó el teorema para todos los primos regulares, pero aunque estos primos son empíricamente más abundantes que los irregulares, nadie ha podido mostrar su infinitud. Esto contrasta con el hecho de que es relativamente fácil demostrar que el conjunto de primos irregulares es infinito.

Simbólicamente el Último Teorema de Fermat, afirma que la ecuación diofantina

xⁿ + yⁿ =zⁿ

no tiene soluciones (no triviales) enteras, para n mayor que dos. Soluciones triviales se encuentran tomando una o todas las variables iguales a cero.

Una ecuación diofantina es una ecuación del tipo

P (x₁, x₂,…., x_n) = 0

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