- FRACTALES

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En la naturaleza también aparece la geometría fractal, como en este romanescu.

Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.^[1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características^[2]

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
• Posee detalle a cualquier escala de observación.
• Es auto similar (exacta, aproximada o estadísticamente).
• Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
• Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto auto similar carece del resto de características exigidas.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras^[3] o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

Los ejemplos clásicos

Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, como ejemplo de función continúa pero no diferenciadle en ningún punto.

Sucesivos pasos de la construcción de la curva de Koch

Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año después, su alfombra.

Construcción de la alfombra de Sierpinski:

Estos conjuntos mostraban las limitaciones del análisis clásico, pero eran vistos como objetos artificiales, una "galería de monstruos", como los denominó Poincaré. Pocos matemáticos vieron la necesidad de estudiar estos objetos en sí mismos.^[4]

En 1919 surge una herramienta básica en la descripción y medida de estos conjuntos: la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

Los conjuntos de Julia

Estos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los años 1920, surgen como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas

Z à f(z) à f(f(z)) à . . .

Analicemos el caso particular de funciones polinómicas de grado mayor que uno. Al aplicar sucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda a ∞. Al conjunto de valores de z€C que no escapan al infinito mediante esta operación se le denomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto de Julia.

Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada píxel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.

Ejemplos de conjuntos de Julia para f_c(z) = z² + c

En negro, imagen del conjunto de Mandelbrot superpuesto con los conjuntos de Julia rellenos representados por algunos de sus puntos (en rojo los conjuntos de Julia conexos y en azul los no conexos).

Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot

La familia de conjuntos de Julia {f_c}, asociadas a la reiteración de funciones de la forma f_c(z) = z² + c presenta conjuntos de una variedad sorprendente.

Dicha familia tendrá especial relevancia al quedar parametrizada en un mapa de fractales llamado conjunto de Mandelbrot. Este conjunto M representa un mapa en que cada píxel, correspondiente a un valor del parámetro , se colorea de modo que refleje una propiedad básica del conjunto de Julia asociado a f_c. En concreto, si el conjunto de Julia asociado a f_c es conexo.

Características de un fractal

Auto similitud

Auto similitud exacta del copo de nieve de Koch.

Según B. Mandelbrot, un objeto es auto similar o auto semejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.^[5]

Los fractales pueden presentar tres tipos de auto similitud:

• Auto similitud exacta. este es el tipo más restrictivo de auto similitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).

• 
  

Cuasiautosimilitud en el conjunto de Mandelbrot: al variar la escala obtenemos copias del conjunto con pequeñas diferencias.

• Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.
• Auto similitud estadística. Es el tipo más débil de auto similitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch

Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo de densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:

• La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa (1.2), nubes, árboles, etc, Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos.

• La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definición más compleja que la de dimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real.

Auto similitud estadística de un fractal generado por el proceso de agregación por difusión limitada

Definición por algoritmos recursivos

Podemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales:

• Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de aplicaciones: el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el copo de nieve de Koch o la Esponja de Menger, son algunos ejemplos.
• Fractales de tiempo de escape, definidos por una relación de recurrencia en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano complejo): el conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia, y el fractal de Lyapunov.
• Fractales aleatorios, generados por procesos estocásticos, no deterministas: el movimiento browniano,el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los árboles brownianos. Éstos últimos son producidos por procesos de agregación por difusión limitada..

Aspectos matemáticos]

Intentos de definición rigurosa

El concepto de fractal no dispone en el año 2008 de una definición matemática precisa y de aceptación general. Intentos parciales de dar una definición fueron realizados por:

• B. Mandelbrot, que en 1982 definió fractal como un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. Él mismo reconoció que su definición no era lo suficientemente general.
• D. Sullivan, que definió matemáticamente una de las categorías de fractales con su definición de conjunto cuasiautosimilar que hacía uso del concepto de cuasi-isometría.

Aplicaciones

Se han utilizado técnicas de fractales en la compresión de datos y en diversas disciplinas científicas.

Compresión de imágenes

Existen pruebas para la compresión de imágenes utilizando la geometría fractal junto con el teorema del collage, basándose en encontrar las transformaciones lineales que hacen que al aplicarlas reiteradas veces obtengamos la imagen procesada en cuestión. Lamentablemente, aún siguen siendo de tiempo asimétrico, es decir, se tarda aun mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificación es muy rápida, sólo hay que iterar el sistema. La compresión, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresión JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantarse por una u otra compresión. También cabe destacar su aplicación al mundo de las artes plásticas y especialmente de la música.

Modelado de formas naturales

Fracción de un fractal Mandelbrot

Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (Las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja).

Sistemas dinámicos

Un atractor extraño: el Atractor de Lorenz

Pero además las formas fractales no sólo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos (ver teoría del caos). Dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos que a su vez forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo, que .... y las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.

En manifestaciones artísticas

Se usan también como punto de unión entre el arte y la ciencia, un ejemplo de eso es el científico-poeta chileno-alemán Mario Markus.

Extrapolación de conceptos a Ciencias Sociales

Varias ciencias particulares pueden hoy aprovechar los conceptos de la teoría de fractales en sus respectivas áreas de conocimiento. Un ejemplo lo encontramos en las ciencias sociales.^[7]

Una extrapolación demasiado esquemática de la geometría fractal a las ciencias sociales será siempre una utopía, ya que la sociedad no es precisamente una abstracción matemática. Una sociedad no puede hallar una ecuación sumaria que genere una estructura determinada, por el simple hecho de que los pilares de una sociedad son más elásticos que simples coordenadas ideales. Sí que se da lo que la teoría del caos se denomina "sensibilidad extrema" a los "estados iniciales" de un proceso, que pueden redundar en drásticos cambios pasado un tiempo del inicio, como postula la Teoría del Caos, ¿No puede una crisis económica (nacional) repercutir sobre todo el sistema de la economía mundial?

Con el estudio del genoma humano, lo que se está tratando de hacer es sacar las leyes que rigen el desarrollo del ser humano, haciendo posible predecir fenómenos que antes eran imposibles de estudiar. Sin embargo, la sociedad no tiene un "ADN" tan rígido como el ser humano. El análisis del "ADN social", o sea, de todas sus tendencias internas de desarrollo, puede realizarse siguiendo los parámetros de esta teoría. Dicho de otra manera, es una forma novedosa que puede tomar el método dialéctico que funda Marx.

Marx también estudió otras ecuaciones sumarias que engendraban a la estructura capitalista mundial: Una de ellas era la propiedad privada de los medios de producción. Estudió cómo se desarrollaría este fenómeno histórico. Y sacó la conclusión de que la propiedad privada tendía al monopolio. Pero no pudo determinar "exactamente" el porvenir del sistema, ya que el capitalismo no tiene un ADN que permita predecir con exactitud su desarrollo diacrónico, histórico. Y si lo tuviera, en tiempos de Marx nadie lo entendería aún.

Por ello, las ciencias sociales se baten entre las ciencias duras y las blandas. No llega a ser una "ciencia dura" por esta imposibilidad de hallar leyes precisas. Pero puede hallar leyes elásticas, que acerquen al objeto de estudio sin renunciar a la ciencia. El método que puede servir para ello es la teoría del caos y los fractales.

En esto se relacionan la teoría de fractales y la teoría del caos, las cuales son parte de un mismo y novedoso paradigma emergente en la Ciencia. La teoría de Sistemas de Ludwig von Bertalanffy también tiene sus aportes para hacer, al igual que la Teoría de las catástrofes, de René Thom.