INTRODUCCIÓN
La teoría de la contabilidad para muchos contadores y para profesionales de otras disciplinas se ha enmarcado dentro del molde rígido y tradicional de
Se pretende con el presente trabajo, demostrar como una teoría estudiada por el genio más prolífico de la historia de las matemáticas, L. EULER (1707-1783), puede ser aplicada a la contabilidad, para así mirar a nuestra disciplina desde una óptica diferente a la antiquísima partida doble. También se busca demostrar que la contabilidad puede ser encuadrada perfectamente en un modelo matemático, la cual contribuye a reafirmar la cientificidad de nuestra profesión y negar de paso la falsa concepción que está solamente basada en simple empirismo.
Se ha demostrado que
La aplicación de
APLICACIÓN DE
Conceptos básicos de
La teoría de grafos es una teoría perteneciente al álgebra moderna según la cual se estudian conjuntos de segmentos de línea v de puntos de un plano.
Su diferencia con la geometría euclidiana radica en que la teoría de gratos carece de métrica, pues la conceptualización de "distancia" se obvia para hacer generalizaciones sobre las figuras o gratos. Es así como para la teoría de grafos la línea recta y la curva son equivalentes, una figura compuesta por segmentos rectilíneos es equivalente a la misma figura compuesta por segmentos de arco, todos los triángulos son equivalentes (equilátero, escaleno e isósceles) ya que la teoría de grafos, sólo se ocupa de una propiedad común de los mismos: la triangularidad.
La teoría de gratos considera que las figuras se han dibujado en un plano "elástico", es decir supone que las figuras geométricas están representadas en una hoja delgada, altamente flexible y elástica, de modo tal que puede ser sometida a distorsión (estiramiento, retorcimiento) interesándose solamente por las propiedades que mantienen las figuras después de las deformaciones a que han sido sometidas. Obviamente la distancia entre los puntos y las formas de los segmentos han cambiado, pero el número de puntos y sus relaciones no.
Como ya se dijo, en la teoría de grafos existen dos tipos de elementos que combinados entre si forman un grafo: segmentos de línea y puntos. La teoría de grafos no se limita solamente a la representación geométrica de líneas y puntos, sino que en el campo de la información se ha dado aplicación a la programación y a la recuperación de datos, considerando que los puntos son elementos de una colección y las líneas relaciones existentes entre los elementos de la misma.
Es así como un archivo de datos, puede ser representado por un grafo: los puntos serán los registros y las líneas serán las relaciones existentes entre los registros.
De las tantas relaciones que pueden existir entre los registros, puede considerarse que la relación de ORDEN es la más importante y el grafo nos mostrará entonces como están ordenados los registros dentro del archivo.
El concepto de DIRECCIÓN es de suma importancia dentro de la teoría de gratos, para indicar el tipo de relación existente entre los puntos. La dirección se indica simplemente con una flecha sobre la línea. Es así como se tienen grafos no orientados y grafos orientados.
Los grafos no orientados o simplemente grafos son aquellos en que las líneas no tienen dirección y corresponden a grafos con relaciones simétricas, es decir, es indiferente el elemento que se menciona primero. Ejemplo: dados los elementos PEDRO y JUANA y la relación simétrica "familiar de" es indiferente si se dice "PEDRO es familiar de JUANA" ó " JUANA es familiar de PEDRO", pero si consideramos los mismos elementos pero la relación asimétrica "hermana de" encontramos que aunque JUANA es hermana de PEDRO, PEDRO no es hermana de JUANA.
Este último grafo será un grafo orientado va que la relación tiene una dirección. La línea que une dos puntos de un grafo se denomina arista en el no orientado y arco en el orientado.
Otras relaciones asimétricas tales como "padre de", "hijo de", "menor que" se representarán siempre con líneas con dirección. Para la aplicación de la teoría de Grafos a
Un grafo puede representar todas las relaciones del mismo tipo que existan entre unos elementos. Pero entre estos mismos individuos pueden existir otros tipos de relaciones y cada uno representarse con un grafo. Ahora bien, existe un problema ¿cómo se pueden superponer geométricamente estos gratos?
Una solución puede ser utilizar líneas de colores diferentes, para indicar cada relación.
Otra solución es la de emplear trazos diferentes para cada relación (trazo delgado, grueso, punteado, etc.).
En el presente trabajo usaremos este último método en razón a las limitaciones en el uso del color.
TEORÍA DE GRAFOS Y CONTABILIDAD
Para aplicar la teoría de grafos a la contabilidad consideraremos que los elementos de la colección son las cuentas del sistema contable y las relaciones entre los elementos son las transferencias de recursos entre las cuentas.
Así deberemos entonces concebir que la representación de una cuenta será un punto en el papel, en el cual deberán marcarse tantos puntos como cuentas del sistema se utilicen, los cuales serán C1 C2, C3.... Cn (Figura 2).
La propiedad general de las cuentas se definirá así: Desde una cuenta Xi a otra cuenta Xj se pueden transferir recursos, tales como dinero, mercancías, bienes económicos y derechos legales debidamente medidos en unidades monetarias.
Para representar una transferencia de recursos desde Ci a Cj, se trazará en el plano una línea, orientada (arco) desde Ci a Cj. Encima de cada arco se escribirá una cifra, Nij, que indique la medida en unidades monetarias de la transferencia. Esta cifra será la relación entre las dos cuentas y se denominará número asociado al arco.
El modelo general para representar una transacción contable lo podemos observar en el grafo de
Utilizaremos
Los puntos C1 C2, C3.... Cn poseen una propiedad: de ellos no salen ni llegan líneas, entonces se dice que son puntos aislados.
Los puntos Ci y Cj poseen una propiedad también: la conexión, la cual existe cuando entre dos puntos de un grafo hay una línea (camino).
Los puntos conectados por un arco se denominan vértices. El punto del que parte la flecha (Ci) se denomina vértice inicial y el punto donde termina (Cj) vértice final.
La línea que une a Ci con Cj se denomina Arco (Aij) y la cifra Nij indicará el valor de la transferencia realizada de Ci a Cj.
Para comprender el modelo supondremos el siguiente ejemplo:
Se organiza la sociedad
Construiremos el grato contable de la anterior transacción así:
1.
Se transfiere dinero en efectivo de los socios a la sociedad (10 millones). Denominaremos C1 a la cuenta CAPITAL la cual representa los derechos de los socios en la sociedad, y C2 a la cuenta EFECTIVO que representa el dinero de la sociedad tanto en Caja como en Bancos. Trazamos un arco A12 desde el vértice C1 al vértice C2, orientado hacia C2 (la flecha apunta a C2).
2.
Se transfieren máquinas y equipos de los socios a la sociedad por valor de 20 millones. Denominamos C3 a la cuenta MAQUINARIA. Nuevamente se traza un arco A 13 desde C1 (CAPITAL) a C3 (MAQUINARIA) con la flecha indicando a C3.
3.
La transferencia del edificio tiene idéntico tratamiento. Se denota el vértice C4 como EDIFICIOS y se traza un arco A 14 desde C1 a C4 (EDIFICIOS) orientado hacia C4.
4. Escribimos sobre cada arco trazado el número asociado al mismo que es el valor de cada transferencia, representándose así el grafo contable de la constitución de la sociedad
Consideremos que a
Para graficar las entradas y las salidas de recursos en teoría de grafos pueden utilizarse dos métodos:
a. Utilizar dos arcos, uno para los recursos que llegan al vértice y otro orientado inversamente para los recursos que salen.
b. Emplear un solo arco usando como número asociado al arco la diferencia entre los recursos recibidos a y los transferidos.
Para la aplicación a la contabilidad es más útil usar el primer método. (Ver figura 5).
Para seguir adelante en la aplicación de la teoría de grafos, se hace necesario introducir el concepto de flujo.
Un grafo es atravesado por un flujo cuando cumple las siguientes propiedades:
1. El grafo posee un vértice único del cual salen arcos, pero al que no llegan arcos (vértice inicial).
2. El grafo posee un vértice único al cual llegan arcos pero del que no parten arcos.
3. En cualquier vértice Vi, la suma de los números asociados a los arcos que llegan a Vi, es igual a la suma de los números asociados a los arcos que salen de Vi (la suma algebraica de los números asociados a los arcos que llegan y los arcos que salen de Vi es cero).
En el grafo contable de
Analizando el grafo de
Para el vértice C1 CAPITAL
O - (10 + 20 +80) = -110
Para el vértice C2 EFECTIVO
(10 + 5 + 5) - 2 = 18
Para el vértice C3 MAQUINARIA
20 - 5 = 15
Para el vértice C4 EDIFICIOS
80- O = 80
Para el vértice C5 OBLIG. BANCARIAS
O - 5 = -5
Para el vértice C5 ALMACÉN
2 - O = 2
La fórmula aplicada es:
Para hacer pasar un flujo por el grafo de
a) Introducimos dos vértices Ca y Cn.
b) Si un vértice cualquiera presenta una diferencia negativa, se traza un arco con línea gruesa, desde Ca hasta el vértice en cuestión, orientada la línea hacia dicho vértice y anotando encima del arco el importe de la diferencia como número asociado al arco.
c) Si un vértice cualquiera presenta una diferencia positiva, se traza un arco con línea gruesa desde el vértice en cuestión hasta Cn con orientación hacia Cn, colocándose encima del arco la cifra de la diferencia como número asociado al arco.
El grafo de
La operación que se ha realizado consistió en hacer pasar un flujo por el grafo.
Esto produjo el hecho de saldar las cuentas obteniéndose el Balance General o Estado de Posición Financiera así:
Las cuentas de Derechos (Activo) serán todos los vértices cuyos Arcos de trazo grueso se encuentren orientadas hacia el vértice C y su saldo será el número asociado a cada arco. Las cuentas de Obligaciones (Pasivo) serán todos aquellos vértices que posean arcos en trazo grueso provenientes del vértice C. Entonces, tenemos que la posición financiera de "
Asientos Compuestos, un problema que se presenta al aplicar la teoría de gratos a la contabilidad, es el de los asientos múltiples o compuestos. Para resolverlo se hace necesario la utilización de un vértice "puente" o vértice "comodín".
Para ejemplificar supondremos la siguiente transacción:
Se adquiere una empresa por valor de 64 millones la cual consta de un edificio que tiene un valor de 30 millones, el terreno con valor de 10 millones y maquinaria por valor de 24 millones. La operación se paga así: en efectivo se pagan 12 millones, se firman letras a un año por 17 millones y el resto con hipoteca a 15 años.
Contablemente se deberá efectuar el siguiente asiento:
El grafo contable del anterior asiento compuesto necesita utilizar un vértice puente ó comodín para mostrar la transferencia de recursos entre las diferentes cuentas y quedaría representado por el grafo de
El grafo de
Los vértices C1, C2, C3, C4 constituyen un camino.
Otros caminos serían los formados por los vértices C4, C5. C6 y C2; C5, C7 y C2 y el formado por los vértices C9, C8 y C2.
Un circuito sería el formado por los vértices C2, C3, C4, C5, C6 y C2, ya que el vértice inicial y final es C2.
Otros caminos serían los formados por los vértices C1, C2, C3, C4, C5 y C1 y el conformado por los vértices C2, C3, C4. C5. C7 y C2.
Como se puede observar el asiento compuesto se representó en el grafo mediante el artificio de introducir el vértice comodín C4 el cual permite mostrar la transferencia de recursos que de otra manera no sería posible.
Aunque por razones de limitaciones de espacio no es posible mostrar en este trabajo todas las aplicaciones de la teoría de gratos a la contabilidad, presentaremos en forma sucinta otros conceptos de plena utilización.
Camino. Se llama camino a una secuencia de arcos simple, es decir en la que ningún arco se repite y se encuentran orientados en el mismo sentido.
Circuito. Se llama circuito a una secuencia de arcos (camino), que comienza y termina en el mismo punto.
Otras aplicaciones dentro de
La teoría de gratos puede tener también aplicación dentro de los presupuestos a través de los Flujos Presupuestales. Para tal efecto se trazará un grafo, cuyos arcos representen los asientos de Diario por período presupuestado, dibujándose los arcos sin asignarles números asociados. Es posible establecer cuál será la magnitud de cada arco de manera aproximada considerando:
a. Para cada cuenta (vértice) se sabe cuál será su saldo.
b. Para cada arco se estima su capacidad, si se entiende a ésta como el máximo número que puede asociarse al arco.
c. Se debe definir cuál es el presupuesto óptimo de acuerdo al objetivo de la empresa.
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